本科：共同底座
核心是分析、代数、几何、概率与计算；毕业时应能独立阅读标准教材并写出完整证明。
- 约 16–20 个专业课程块
- 每学期 3–4 门数学课较稳妥
- 最后一年进入专题与毕业论文
00 · READ THIS FIRST
先建立全局图景
“学完课程”不是记住目录，而是能定义、举例、反例、证明、计算、建模，并知道何时调用哪件工具。
4 年典型数学本科；先宽后分流
2–3 年典型硕士；核心课 + 方向课 + 论文
4–6 年典型博士；课程只占前段
9–12 h一门标准课每周总投入估计
一句话理解三个阶段
- 本科：建立共同语言与基本对象，训练从“会算”到“会证明”。
- 硕士：把分析、代数、几何、概率等升级为能跨课程调用的现代工具箱，并完成一次受指导的研究。
- 博士：迅速补齐广度、选定窄方向、进入前沿文献，最终产出可审查的原创结果；此时研究时间远多于上课时间。
- 不要全学：本科核心应尽量宽；硕士以后通常选 1 条主线 + 1 条支撑线，而不是把所有方向课逐门刷完。
硕士：工具箱与分流
先完成高级分析 / 代数 / 几何等核心，再从纯数、概率统计、应用计算中形成主方向。
- 核心 4–7 门，方向课 3–6 门
- 大量阅读、习题、报告与讨论班
- 论文不一定原创很深，但须闭环
博士：问题与原创
资格考只是入口。真正主线是导师匹配、专题研讨、寻找可攻问题、持续证明与论文写作。
- 前 1–2 年课程与资格考
- 中段形成问题组合与研究节奏
- 后段论文、答辩、求职与传播
01 · DEFAULT SEQUENCE
一条常规学习顺序
这是“基础较扎实、目标继续深造”的默认节奏。课程名可因学校不同而拆分或合并；虚线风格代表可选或择一。
负荷护栏：同一学期通常不要同时安排超过 3 门高证明密度课程。若数学分析或高等代数的出门题只能完成一半，应先补底座，而不是急着冲研究生课。
02 · DEPENDENCY MAP
课程之间怎么连
箭头表示“通常先学”，不表示绝对硬门槛。点击任一节点可跳到课程卡；课程卡内会列出更精确的交叉先修。
→ 主干先修↗ 交叉支撑写在课程卡内研究生阶段通常只沿 1–2 条线深入
03 · CHOOSE A DIRECTION
先宽后窄：怎么选方向
大三前优先修共同底座；大三到硕士再用“喜欢的问题类型”分流。按钮会直接筛选下方课程。
04 · COURSE HANDBOOK
课程手册
每张卡给出时间、内容体量、重点难点、掌握标准、2–3 项自学资料与 5 道出门题。时间是“普通强度完整学一遍”的估计，不是学校硬性学分。
资料怎么选：每课第一项是建议主线；优先正式开放课程、作者公开教材与出版社教材页。标签评价的是它对本报告该课程模块的覆盖，不是资源本身的质量。
完整覆盖大部分覆盖部分覆盖训练 / 参考免费 / 购买信息
05 · DOCTORAL REALITY
博士阶段，课程不是主角
各校制度差异很大，但从“广度考核 → 确定导师与课题 → 独立研究 → 论文与答辩”的能力迁移很稳定。
补齐广度，过资格考
高级核心课、往年题、口试表达；目标不是背答案，而是暴露并修复本科底座漏洞。
选导师，读到研究前沿
从教材到综述到代表论文，做可复现的例子，逐步形成术语表、定理依赖图与问题清单。
把“大问题”切成可攻子问题
构造例子、证明引理、做计算实验、记录失败；每 6–12 周应有可陈述的新进展或明确的否定结论。
论文、答辩与学术传播
把零散结果组织成主线，补齐假设与边界情形，经受同行提问，并能讲清“新在哪里、为何重要”。
06 · METHOD & SOURCES
口径、用法与资料来源
本报告是跨院校的“规范化路线”，不是任何学校的正式培养方案。实际选课请以本校当年课程目录与导师建议为准。
| 项目 | 本报告如何理解 | 怎么用 |
|---|---|---|
| 时间 | 标准学期按 16 周估计；“课堂 + 自学”含读书、习题、复盘与考核准备。 | 自学者可把 1 学期拉长到 20–24 周；证明课不宜压缩。 |
| 内容体量 | 用主题数与“严肃习题”数表达，强调需要真正写出解答的问题，而非机械小题。 | 题量是完成一轮的建议区间，不要求把教材习题全刷完。 |
| 难度 | 1–5 格衡量抽象度、先修密度与证明强度，不等同于耗时，也不代表课程价值。 | 连续两门 5 格课程同修通常需要降低其他负荷。 |
| 出门题 | 每课 5 题覆盖定义、例子 / 反例、证明、计算 / 构造与迁移。 | 闭卷完整完成 4 题，且能解释关键步骤，可视为达到“可继续”水平。 |
| 学习资料 | “完整”表示可独立承担该模块主线；“大部分”有少量明确缺口；“部分”只适合作为拼图；“训练 / 参考”不按完整课程组织。 | 通常以每课第一项为主线，再选一项补习题、视频或另一种讲法；不要同时从头刷完三套。 |
| 选择原则 | 本科求广度；硕士选主线与支撑线；博士围绕问题按需补课。 | 不要因地图完整就误以为必须学完全部模块。 |
学习资料如何筛选？
优先级依次为：能独立走完的正式开放课程、作者合法公开的完整教材、课程配套讲义与习题、出版社教材页，以及只负责补某个分支的专题资源。报告链接到资源的官方主页而非来路不明的转载；“完整 / 大部分 / 部分”由本报告课程大纲逐项比对后标注，并在每个“部分覆盖”条目里直接写明缺口。付费教材均标为“购买 / 图书馆”，不把购买等同于必须。
参考了哪些代表性院系？
选择这些院系不是为了做排名，而是为了覆盖几种有代表性的培养风格：国内“长基础序列”、美国“灵活分方向”、英国“高密度分阶段课程”、研究生“三大核心”，以及博士入口的笔试 / 口试与尽早研究。报告提取它们的共同结构后重新编排，并未照搬任何一校的课表。
北京大学数学科学学院数学系：本科课程七模块
代表性：体现国内基础数学培养中数学分析、高等代数、几何与概率的厚基础，以及专业基础课、讨论班和研究生先修课的分层。
- 报告采用：本科三阶段顺序、核心课范围、从高年级进入实变 / 拓扑 / 微分几何 / PDE。
- 没有照搬：具体学分、开课学期和“实验班”设置。
MIT Mathematics：本科专业路线图
代表性：把课程按代数、分析、拓扑几何、概率统计、计算科学等兴趣方向分为 Stage 1–3，而不是要求所有人走同一条窄路线。
- 报告采用：“共同底座 + 六条知识主线 + 高阶分流”的关联图。
- 博士部分另参：MIT 口试资格考说明中的主方向、两个宽领域副方向与导师衔接。
University of Cambridge：Mathematical Tripos
代表性：三年 BA 或四年 BA+MMath，前期共同训练、后期提供很宽的纯数与应用课程选择，并包含计算项目。
- 报告采用：按年级逐步放开选修、理论与计算并列、高年级不必把全部课程学完。
- 没有照搬：Tripos 特有的考试结构与英国学位命名。
University of Chicago Mathematics：研究生一年级课程
代表性：以分析、代数、拓扑 / 几何组成第一年研究生共同核心，是纯数学研究生“先补广度、再进专题”的典型结构。
- 报告采用：硕一工具箱升级，以及高级分析、高级代数、代数拓扑 / 流形的并列关系。
- 没有照搬：季度制长度与具体课程编号。
UC Berkeley Mathematics：Preliminary Examination
代表性：用实分析 / 微积分、复分析、线性代数和抽象代数检查荣誉本科层级的核心基础，清楚展示博士阶段仍依赖哪些本科课。
- 报告采用：资格考前的广度补强、用诊断题发现基础漏洞。
- 没有照搬：具体考试时长、及格线与尝试次数。
Princeton Mathematics：研究生培养要求
代表性：在代数、实分析、复分析的广度基础上选择两个高级专题，并较早让专题与潜在论文问题衔接。
- 报告采用：博士阶段“广度核心 + 两个专题 + 导师 / 论文”的能力迁移。
- 没有照搬：语言要求、校内考试日历与学位行政规则。
美国教育部：credit hour 工作量定义
用途：以常见的“每课堂小时配至少约两小时课外学习”作为时间估算锚点，再按证明课、项目课和研究训练调整。
- 报告采用：标准单门课每周总投入的量级。
- 提醒：页面里的时长仍是跨制度估算，不是任何学校的正式学分换算。